Normaliseringskonstanten

Normaliseringskonstanten är en konstant som används för att göra en obekräftad funktion till en sannolikhetsfördelning genom att skala den så att den totala sannolikheten blir 1.

Formellt gäller att om f(x) ≥ 0 är definierad på ett måttrum X, så är den normaliserande konstanten Z given av Z = ∫_X f(x) dx i kontinuerliga fall eller Z = ∑_{x∈X} f(x) i diskreta fall. Den normaliserade sannolikhetsdensiteten blir då p(x) = f(x)/Z. I många sammanhang används också att p(x) ∝ f(x), där Z är den faktor som gör att integralen över X blir 1.

Exempel och användningsområden: En klassisk exempel förenklar ofta f som en okonstans funktion, till exempel f(x) = exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)) för en gaussisk form. Då är Z = ∫ f(x) dx = √(2π σ^2) och p(x) = (1/√(2π σ^2)) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)). Inom Bayesiansk statistik är den okonstanta postern p(θ|D) ∝ p(D|θ) p(θ); den faktiska normaliseringskonstanten Z = p(D) = ∫ p(D|θ) p(θ) dθ kallas evidens eller marginal sannolikhet. In statistisk mekanik kallas Z partition function och ges av Z = ∑ e^{-βE} eller Z = ∫ e^{-βH} dΓ. I kvantmekanik används normalisering av vågfunktionen ∫ |ψ(x)|^2 dx = 1, där ett obekräftat ψ̃ kan normaliseras med Z = ∫ |ψ̃(x)|^2 dx.

Beräkning av Z kan vara utmanande och kräver ofta numeriska metoder som Monte Carlo, importance sampling eller thermodynamisk integration. Normaliseringskonstanten är därmed en central scalingfaktor som möjliggör tolkning av obestämda funktioner som sannolikheter eller kvantmekaniska tillstånd.