Nivåflater

Nivåflater, eller nivåflater i matematikk og anvendelser, er overflater som består av alle punkter hvor et skalarfelt har samme verdi. For en funksjon F som er definert i rommet, kan en nivåflate for verdien c beskrives som Lc = { (x,y,z) | F(x,y,z) = c }. Når F avbildes i to variabler, blir nivåflatene kurver i planet; i tre variabler er de to-dimensjonale overflater i rommet.

Et viktig kjennetegn er at gradienten til F står normalt til nivåflaten: ∇F peker i retningen av størst endring og er ortogonalt til nivåflaten på alle punkter hvor ∇F ikke er null. Dersom ∇F ≠ 0 over hele Lc, så er Lc en glatt 2D-undermanifold i R3. Om gradienten blir null på enkelte punkter, kan nivåflaten få singulariteter eller avvike fra en glatt overflate.

Eksempler: F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 har nivåflater Lc som kuler med radius r = sqrt(c). En lineær funksjon F(x,y,z) = ax + by + cz har nivåflater som plan, fordi nivåflatene er definert av en konstant verdi av en lineær form. Nivåflater brukes også i praktiske sammenhenger som isopotensial- eller isokurv-flater i fysikk og ingeniørfag, isothermer og isodensiteter i geovitenskap og meteorologi, og i datasyn og grafikk hvor implicit representasjon av overflater er vanlig.

Beregnings- og visualiseringsaspekter: Nivåflater kan representeres implicit som F(x,y,z) = c, og omtrentlig visualisering skjer ofte med metoder som marching cubes eller nivåsett-metoder i numerisk geometri og bildebehandling. Nivåflater gir en naturlig måte å beskrive former og grenseflater av objekter definert av scalar felt på tvers av ulike fagfelt.