Neliömatriisille

Neliömatriisi (n×n-matriisi) on matriisi, jonka rivien ja sarakkeiden lukumäärä on sama. Yleensä merkitään A ∈ F^{n×n}, missä n on matriisin koko ja F on kenttä, esimerkiksi reaali- tai kompleksiluvut. Neliömatriisien joukosta muodostetaan M_n(F).

Neliömatriisit muodostavat sekä vektori-tilan että renkaan: ne ovat F:n n^2-kokoisia vektoreita, ja matriisikertolasku määrittää renkaan, jonka identiteettinä toimii I_n. Tämä tekee neliömatriisien sarjasta keskeisen työkalun lineaarialgebrassa, lineaarisissa malleissa ja differentiaaliyhtälöissä.

Determinantti det(A) on määritelty vain n×n-matriiseille ja antaa mittaluvun lineaarisen muunnoksen ominaisuuksista: det(A) ≠ 0 tarkoittaa, että Alla on käänteismatriisi A^{-1}. Traci tr(A) on A:n diagonaalisten alkioiden summa ja toimii usein mittarina matriisin skaalautuvuudesta. Eigenarvot λ ratkaistaan det(A−λI)=0; niihin liittyviä vektoreita kutsutaan eigenvektoreiksi. Näiden käsitteiden avulla voidaan tarkastella muunnoksen rakennetta ja muunnoksen hallintaa.

Neliömatriisit voivat olla erilaisia: diagonaalisia, ylä- tai alayhteisiä (triangular), sekä symmetrisiä (A^T = A) tai ortogonaalisia (A^T A = I). Reaali- ja kompleksikenttien matriiseilla on omat erityispiirteensä, kuten positiivinen definitio tai neliöjuuret.

Neliömatriisien ominaisuudet ja toiminnot ovat keskeisiä lineaarialgebrassa: ne mallintavat lineaarisia muunnoksia, ratkaisevat lineaarisia järjestelmiä ja löytyvät monista sovelluksista grafiikasta, tilastotieteestä ja Markov-ketjuista. Neliömatriisille on ominaista, että monet keskeiset käsitteet määritellään juuri niiden kautta.