NavierStokesekvationen

NavierStokesekvationen beskriver hur vätskor och gaser rör sig och hur deras hastighetsfält förändras under påverkan av tryck, viskositet och yttre krafter. Den utgör kärnan i fluiddynamiken och är uppkallad efter Claude-Louis Navier och George Gabriel Stokes. Ekvationen används inom allt från rörflöden och aerodynamik till klimat- och biomedicinska processer.

Matematiskt kan den uttryckas som ett bevarande av rörelsemängd: ρ Du/Dt = ∇·σ + f, där D/Dt är materialderivatan. Stress-tensoren för Newtonska vätskor skrivs som σ = -p I + μ(∇u + ∇u^T) + λ(∇·u) I. För inkompressibla Newtonska vätskor förenklas detta till Du/Dt = - (1/ρ) ∇p + ν ∇²u + f, med ∇·u = 0. Här är u hastighetsfältet, p tryck, ρ densitet, ν den kinematiska viskositeten och f yttre krafter. Compressible variationer involverar förändringar i densitet och ofta energi-konstitutivitet.

Randvillkor inkluderar no-slip vid solidgränser och lämpliga farfält- eller periodiska villkor. Initiala tillstånd krävs för tidsberoende problem, och i praktiken löses många problem med numeriska metoder.

Användningsområden inkluderar flyg- och bilindustri, väder- och havsmodellering samt biomedicin. För praktiska tillämpningar används CFD (computational fluid dynamics) med metoder som finite difference, finite volume och finite element. I enklare fall finns analytiska lösningar som Poiseuille-, Poiseuille-Couette- och laminarflöden.

Inom matematiken är global existens och regelbundenhet av lösningar i tre dimensioner ett öppet problem; NavierStokesekvationen är därmed ett av de kända Clay Millennium-prisproblemen.