Möbiusmuunnoksista

Möbiusmuunnokset, tunnetaan myös nimellä lineaarimobiilimuunnokset tai homografiat, ovat kompleksiluvun laajennettuun tasoon määriteltyjä funktioita. Ne ovat muotoa f(z) = (az + b) / (cz + d), missä a, b, c ja d ovat kompleksilukuja ja ad - bc ≠ 0. Tämä ehto varmistaa, että muunnos on kääntyvä.

Möbiusmuunnokset ovat bijektioita laajennetusta kompleksitasosta itselleen. Laajennettu taso sisältää kaikki kompleksiluvut sekä yhden lisäpisteen, äärettömän. Möbiusmuunnokset kuvaavat ympyrät ja suorat toisikseen. Tarkemmin sanottuna ne kuvaavat ympyrät ympyröiksi tai suoriksi, ja suorat suoriksi tai ympyröiksi.

Yksi keskeinen ominaisuus on, että ne säilyttävät konformisuuden, eli ne säilyttävät kulmat kuviossa siten, että niiden suuruus ja suunta pysyvät ennallaan. Tämä tekee niistä hyödyllisiä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla.

Möbiusmuunnoksia käytetään muun muassa kompleksianalyysissä, geometriassa ja säieteoriassa. Niiden yksinkertainen muoto ja tehokkaat ominaisuudet tekevät niistä perustyökaluja monissa matemaattisissa ja fysikaalisissa ongelmissa. Jokainen Möbiusmuunnos voidaan ajatella myös lineaarikuvausena homogeenisissa koordinaateissa, mikä syventää niiden yhteyttä projektiviseen geometriaan.