Möbiusmuunnoksia

Möbiusmuunnoksia, tunnetaan myös nimellä bikomformaaliset muunnokset tai lineaarimobiiliset muunnokset, ovat tiettyjä kompleksitasossa määriteltyjä funktioita. Ne ovat yleisimpiä ja tärkeimpiä konformisia kuvauksia Riemannin pallolla. Möbiusmuunnos on muotoa f(z) = (az + b) / (cz + d), missä a, b, c ja d ovat kompleksilukuja ja ad - bc ≠ 0. Tämä ehto takaa, että muunnos on kääntyvä.

Möbiusmuunnoksilla on useita merkittäviä ominaisuuksia. Ne säilyttävät ympyrät ja suorat kompleksitasossa, eli ympyrän kuva on ympyrä tai suora, ja suoran kuva on myös ympyrä tai suora. Tämä ominaisuus tekee niistä erittäin hyödyllisiä geometrisissa ja analyyttisissä sovelluksissa. Ne ovat myös kääntyviä, ja niiden käänteismuunnos on myös Möbiusmuunnos.

Möbiusmuunnokset muodostavat ryhmän, jota kutsutaan Möbiusryhmäksi. Tämän ryhmän matriisiesitys liittyy yleiseen lineaariryhmään GL(2, C). Kolme pistettä kompleksitasossa määrittelee yksikäsitteisen Möbiusmuunnoksen. Tämä tarkoittaa, että jos tiedämme, mihin kolme eri pistettä kuvautuvat, voimme määrittää koko muunnoksen.

Sovelluksia Möbiusmuunnoksilla löytyy monilta matematiikan aloilta, kuten kompleksianalyysistä, geometriasta ja topologiasta. Niitä käytetään myös fysiikassa, esimerkiksi kvanttikenttäteoriassa ja gravitaatioteoriassa. Lisäksi niitä hyödynnetään tietojenkäsittelyssä ja signaalinkäsittelyssä.