Möbiusmuunnoksen

Möbiusmuunnos, joka tunnetaan myös nimellä Möbius-kuvaus tai yleinen projektio, on erikoistapaus konformisesta kuvauksesta kompleksitasossa. Se on kompleksilukuja kuvauksena itselleen, joka säilyttää kulmat sekä suunnat. Möbiusmuunnos voidaan esittää muodossa f(z) = (az + b) / (cz + d), missä a, b, c ja d ovat kompleksilukuja ja ad - bc ≠ 0. Vakio ad - bc ei saa olla nolla, jotta kuvaus olisi ei-degeneroitunut.

Möbiusmuunnokset ovat erittäin tärkeitä kompleksianalyysissä ja geometriassa. Ne muodostavat ryhmän, jota kutsutaan SL(2, C):ksi, ja niillä on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia. Jokainen Möbiusmuunnos on bijektiivinen kuvaus laajennetusta kompleksitasosta (kompleksitaso plus ääretön piste) itselleen. Ne kuvaavat ympyrät ja suorat ympyröiksi ja suoriksi. Tämä ominaisuus tekee niistä hyödyllisiä monilla aloilla, kuten tasogeometriassa, topologiassa ja jopa fysiikassa, esimerkiksi gravitaatioteoriassa.

Möbiusmuunnosten geometrinen tulkinta on myös kiinnostava. Ne voidaan ajatella projektioina pallopinnalta, jota kutsutaan Riemannin palloksi. Kahden pisteen välinen suhde säilyy tietyllä tavalla Möbius-kuvauksessa.