Mõõdetavuse

Mõõdetavus on matemaatiline omadus, mis puudutab funktsioonide ja hulgade sobivust mõõtmisega seotud struktuuridega. See term on keskne mõõtmeteoorias, tõenäosusteoorias ja analüüsis ning võimaldab defineerida ja teostada integreerimist, tõenäosuse ülekanne ja piirväärtuste tehteid.

Formaalne define: Oletame, et meil on mõõdetav ruum (X, Σ) ja mõõdetav ruum (Y, Τ). Funktsioon f: X → Y on mõõdetav, kui iga B ∈ Τ sai ette f^{-1}(B) ∈ Σ. Eriti oluline on korral Y = R ja Τ = B(R) ehk Borel σ-algebra; siis nimetatakse f sageli Borel-mõõdetavaks. Kui X = Ω ja Σ = F ning Y = R, on f niiöelda tavapärane random muutuja, mis peab olema mõõdetav vastavalt B(R)-le.

Näited ja kontekstid: Real-valued random variable on mõõdetav funktsioon Ω → R, kus Ω on tõenäosusruum ja F σ-algebra; see tagab, et sündmuste kujutised funktsiooni kaudu on mõõdetavad. Lebesgue’ mõõdetavus on oluline, kui tegu on reaalväärtuslike funktsioonidega, mille preimage mõnele Lebesgue-meelne hulk on mõõdetav. Mõõdetavus on vajalik integraalide defineerimiseks, tõenäosusülekande ja konvergentsi teooriate (nt Dominated Convergence, Fatou’i lause) kehtivuse tagamiseks, ning see tagab joonealuste operatsioonide puhul korrektse tulemuse.

Seosed ja vormid: Mõõdetavus ilmneb nii hulkade kui ka funktsioonide kontekstis. Olulised mõisted on σ-algoritm, mõõde, Borel- ja Lebesgue-mõõdetavus, lihtfunktsioonid ja measurable mappings. Mõõdetavuse idee on tagada, et operatsioonid nagu liitmine ja kaalutud keskmistamine on mõeldavad ja elavad mõõtmise raames.

Seotud mõisted: σ-algebra, mõõt, measurable function, Borel σ-algebra, Lebesgue measurability, random variable.