Målefunksjonen

Målefunksjonen er et matematisk begrep som viser når en funksjon er målelig med hensyn til gitte sigma-algebraer. Mer spesifikt er en funksjon f fra et målerom (X, F) til et målesystem (Y, G) målelig hvis preimageene av alle mengder i G ligger i F.

Når målesystemet på codomene er Borel-sigma-algebraen på de reelle tallene, kalles f målelig hvis f^{-1}(B) er i F for alle Borel-mengder B ⊂ R. Dette gjør det mulig å definere og beregne integraler og sannsynlighetsmessige forventninger.

Eksempler og egenskaper: Alle kontinuerlige funksjoner er målelige. Indikatorfunksjoner 1_A for mengder A i F er målelige, og enkle funksjoner (kombinasjoner av indikatorer) er også målelige. Hvis f og g er målelige, er også f+g, f·g og k∘f (for konstant k) målelige. Sammensetning av målelige funksjoner er målelig, og grense av et økende eller avtakende følge av målelige funksjoner er målelig under passende forhold. Målebarhet er grunnlaget for definisjon av integraler og forventninger i sannsynlighet og analyse.

Begrensninger: Det finnes ikke-målelige funksjoner og ikke-målebare mengder, spesielt i kontekster som Lebesgue-måling. Dette viser at målebarhet avhenger av valgte sigma-algebraer og målerestriksjoner.

Bruksområder: Målefunksjoner er kjerne i målteori, sannsynlighetsregning, integrasjon og analyse av forventninger, varians og andre statistiske begreper. De gir et rammeverk for å kombinere funksjoner og målte fenomener på en konsistent måte.