Multifaktorialisia

Multifaktorialisia ovat yleinen yleistys faktorialille. Tietyn kokonaisluvun n ja positiivisen kokonaisluvun k ≥ 1 kanssa määritellään k-faktoriali n!^(k) seuraavasti: n!^(k) = n · (n − k) · (n − 2k) · ... · m, jossa m on viimeinen positiivinen termi tietyssä jaksossa. Toisin sanoen sarja koostuu lukuvaihdosta n, n−k, n−2k, niin kauan kun termi on positiivinen. Termien loppumisessa käytetään konventiota, että jos seuraava termi olisi ≤ 0, sen jälkeen ei enää kerrota.

Esimerkkejä: 7!^(2) = 7 × 5 × 3 × 1 = 105; 8!^(2) = 8 × 6 × 4 × 2 = 384; 6!^(3) = 6 × 3 = 18; 5!^(4) = 5 × 1 = 5. Kun k = 1, saadaan tavallinen n!; kun k = 2, kyse on nimetyllä tavalla kaksinkertaisesta faktorialista (n!!). Monipuolisissa teksteissä n!^(k) voidaan merkitä myös n!_k tai n!^(k) –notation riippuen kirjoitusperinteestä.

Ominaisuuksia: multifaktorialit voidaan laskea rekursiivisesti n!^(k) = n · (n − k)!^(k) ja ne vähenevät k askelein, mikä vaikuttaa niiden kasvuun ja sovelluksiin. Käyttökohteita esiintyy combinatoriikassa ja tilastotieteessä sekä eräissä erityistilanteissa, joissa tuotetta toistuvista syklisistä vaikutuksista syntyy luonnollisesti.

Näkökohtia: yhtenäinen yhteys tavalliseen factorialiin sekä n-tason yleishaarojen laskeminen, mutta konventiot ja merkintätavat voivat vaihdella. Multifaktorialisia käytetään pienempiä lohkoja erottelevaan laskentaan ja tietyissä jakaumien sekä sarjojen kontekstissa.