Monotoniisuus

Monotoniisuus viittaa matematiikassa ja funktioanalyysissä funktioiden tai sarjojen ominaisuuteen, jossa niiden arvo kasvaa tai laskee jatkuvasti tietyn suunnan mukaisesti. Monotonisuutta tutkitaan yleensä reaalifunktioissa, joiden määrittelyjoukko on välitön tai osittain välitön.

Funktio *f* sanotaan kasvavaksi, jos sen arvo kasvaa sen argumentin kasvaessa. Tarkemmin sanottuna, jos *x₁* < *x₂* niin *f(x₁)* ≤ *f(x₂)* kaikille määrittelyjoukon *x₁* ja *x₂* alkeille. Jos epäyhtälö on tiukka (*f(x₁)* < *f(x₂)*), funktio on tiukasti kasvava. Vastaavasti funktio on laskeva tai tiukasti laskeva, jos sen arvo pienenee argumentin kasvaessa.

Monotonisuutta voidaan tutkia myös osittain jatkuvilla funktioilla tai funktioilla, joilla on epäjatkuvuuksia. Monotoninen funktio on aina jatkuva kaikkialla paitsi mahdollisesti äärettömän monissa pisteissä, joissa funktio voi hyppää. Esimerkiksi suhteellinen funktio *f(x) = x* on tiukasti kasvava kaikkialla, kun taas funktio *f(x) = x²* on laskeva välillä (*-∞*, 0] ja kasvava välillä [0, ∞).

Monotonisuuden käsite on tärkeä muun muassa integraalilaskennassa, differentiaalilaskennassa ja sarjojen konvergenssin tutkimuksessa. Monotonisten funktioiden ominaisuuksia hyödynnetään esimerkiksi todistettaessa funktioiden olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä. Monotonisuus voi myös auttaa arvioimaan funktioiden rajoja ja käyttäytymistä äärettömissä pisteissä.