Momentbølgefunksjonene

Momentbølgefunksjonene er de angular momentum-baserte bølgefuntksjonene som brukes i kvantemekanikk for å beskrive hvordan et partikkel, som et elektron, er fordelt i retning på et sfærisk koordinatsystem. I praksis refererer termen ofte til bølgefunksjoner som beskriver den ikke-radiale (vinkelavhengige) delen av et kvantetilstand, og som i mange tilfeller er representert ved de såkalte sfæriske harmoniske funksjonene Y_l^m.

Matematisk sett er Y_l^m(θ, φ) definert for l ≥ 0 og m = -l, ..., l. De er gitt av en radikal kombinasjon av associerte Legendre-polynomer og en complex eksponential, vanligvis skrevet som Y_l^m(θ, φ) = √((2l+1)/(4π) · (l−m)!/(l+m)!) · P_l^m(cos θ) · e^{i m φ}, eventuelt med Condon-Shortley-fasen. Y_l^m er ortonormal og fullstendig over sfæren: ∫ Y_l^m*(θ, φ) Y_{l'}^{m'}(θ, φ) dΩ = δ_ll' δ_mm', og de er egenfunksjoner til L^2 og L_z med egenverdier ħ^2 l(l+1) og ħ m.

I kvantemekanikk brukes momentbølgefunksjonene som den vinkelavhengige delen av en orbital bølgefuksjon: ψ_{nlm}(r, θ, φ) = R_{nl}(r) Y_l^m(θ, φ). De beskriver orienteringen av angular momentum og bestemmer romlig fordeling av sannsynlighet i retning. De har viktige egenskaper under rotasjoner og koblinger av moment (for eksempel ved bruk av Clebsch-Gordan-koeffisienter og Wigner D-matriser).

Historisk ble sfæriske harmoniske funksjoner utviklet i arbeidet med løsning av Laplace-ligningen og senere utvidet i kvantemekanikkens kontekst av Schrödinger og andre. Realiseringer av Y_l^m finnes også i real-form ved bruk av reelle sfæriske harmoniske funksjoner.