Moduulimäärä

Moduulimäärä on positiivinen kokonaisluku n, jota käytetään määrittelemään kongruenssi a ≡ b (mod n). Kongruenssi tarkoittaa, että erotus a−b on jaollinen luvulla n.

Jäännös modulo n on luku r, jolla 0 ≤ r < n ja joka toteuttaa a ≡ r (mod n). Näin jokainen kokonaisluku kuuluu johonkin residuum-luokkaan modulo n, ja nämä luokat kattavat kokonaisluvut. Moduulimäärä määrittää, montako erilaista residuum-luokkaa on kyseessä.

Z/nZ on joukko kongruenssiluokkien muodostama rakenne, jossa laskut suoritetaan modulo n. Tämä rakenne muodostaa usein renkaan, ja siinä voidaan tehdä yhteen- ja vähennys- sekä kertolaskuja, tuloksia lyhennettäessä modulo n.

Yksiköt modulo n ovat luvut k, 1 ≤ k < n, jotka ovat suurimman yhteisen tekijän n kanssa 1, eli gcd(k,n)=1. Näiden lukujen luokat muodostavat modulo-n yksiköiden ryhmän, jonka koko on Eulerin totientti φ(n).

Esimerkki: 17 ≡ 5 (mod 6), koska 17−5=12 on jaollinen luvulla 6. Jäännös modulo 6 on siis 0,1,2,3,4 tai 5. Moduulimäärää käytetään laajasti lukuteoriassa sekä erilaisissa laskutoimituksissa ja kryptografiassa, jossa suuria moduuleja käytetään salausasetuksissa.

See also: kongruenssi, jäännös, Eulerin totientti, moduulialgebra, Z/nZ.