Modaalilogiikka

Modaalilogiikka on logiikan osa-alue, joka tutkii väitteiden välttämättömyyttä ja mahdollisuutta sekä näihin liittyviä operaatioita. Sen perusoperaattoreita ovat □ ja ◇, joita merkitään usein välttämättömänä ja mahdollisena. □p tarkoittaa, että p on välttämätöntä, eli tosi kaikissa mahdollisissa maailmoissa; ◇p tarkoittaa, että p on mahdollista, eli tosi jossakin mahdollisessa maailmassa.

Modaalilogiikan semantiikka perustuu Kripken mahdollisten maailmojen näkemykseen. Määrittelyyn kuuluu maailmajoukko W, yhteydet R (jos wRv, maailmat ovat yhteenkytkettävissä) sekä V, joka määrittelee milloin lausekkeet ovat totta kussakin maailmassa. Totuus M,w ⊨ □φ toteaa, että φ on totta kaikissa maailmoissa v, joihin wRv. Totuus M,w ⊨ ◇φ toteaa, että on olemassa v, jossa wRv ja M,v ⊨ φ.

Tutkimus alkaa peruspropositional modal logiikasta. Aksioominen lähtökohta sisältää aksiooma K: □(p→q) → (□p → □q) sekä säännön necessitation: jos φ on loogisesti pätevä, niin □φ pätee. Näiden lisäksi käytetään erilaisia lisäakso-omisia.

Laajemmat järjestelmät sisältävät T-aksiooman (□φ → φ), S4:n (□φ → □□φ) sekä S5:n, jossa yhteydet ovat tasa-arvoisia ja kaikkien maailmojen välillä on julkinen yhteys. Näillä kielillä voidaan kuvata eri totuuksien vakauden ja yhteisen totuuden piirteitä.

Modaalilogiikkaa käytetään filosofiassa, tietojenkäsittelytieteen ohjelmointihyödyntäessä, ohjelmisto- ja ohjelmointiansin tarkastuksessa sekä kielitieteessä modalien merkitysten analysoinnissa. Historiaan kuuluvat esimerkiksi Kripken kehitystyö 1900-luvun puolivälissä sekä aiemmat työkalut possible worlds -ulottuvuudessa. Modaalilogiikka kattaa myös normatiivisen (deontinen) ja aikaiset (aikaliset) modaliteetit sekä muut modaaliset yhteydet.

---