Mitmefaktorilist

Mitmefaktorilist ehk mitmefaktoriaalne faktoriaal on matemaatiline funktsioon, mis generaliseerib tavapärast faktoriaali. See arvutab korrutiste jadad, kus iga järgnev tegur on eelmisest lahutatud kindla sammuga. Sagedasemates märgendustes tähistatakse seda n!^(k) või n!_(k), kus n on peafaktoriaal ja k on samm. Standardne faktoriaal vastab k-le 1; kahekordne faktoriaal (k=2) on laialt tuntud ning sisse kuuluvad ka kolmekordne ja edasi.

Definitsioon: Kui n ≥ 0 ja k ≥ 1 on täisarvud, defineeritakse n!^(k) kui n × (n−k) × (n−2k) × ... kuni jääb positiivne liige. Näiteks 9!! = 9×7×5×3×1 ja 9!!! = 9×6×3 = 162. Sarnane lähenemine kehtib ka väikeste n-de ja suuremate k-de puhul.

Märgistus ja seosed: erinevates allikates kasutatakse erinevaid märgistusi, näiteks n!^(k) või n!_(k). Mitmefaktoriaal saab laiendada mitte-inimeste arvude korral gamma-funktsiooni abil: n!^(k) = k^{(n−r)/k} · Γ(n/k + 1) / Γ(r/k + 1), kus r ≡ n mod k ja 0 ≤ r < k. See võimaldab analüütilist tööd ka mittetäisarvuliste ja negatiivsete väärtustega.

Rakendused: mitmefaktoriaal ilmub kombinatorikas, seriaalõppustes ja erifunktsioonide seostes, kus arvestatakse sammuga vähenevaid tegureid. Kahekordne ja kõrgem mitmefaktoriaal on tekkinud erinevates valdkondades, sealhulgas täisarvuliste järjestuste ja väljenduste lihtsustamisel ning seoses teatud polünoomide ja tõenäosusteooriatega.

Seotud mõisted: faktoriaal (k=1), kahekordne faktoriaal (k=2) ja gamma-funktsioon.