Maximalverteilung

Maximalverteilung ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitslehre, der die Verteilung des Maximums einer Zufallsstichprobe beschreibt. Sei X1, …, Xn i.i.d. mit gemeinsamer Verteilung F und Dichte f. Das Maximum M_n = max{X1, …, Xn} hat die Verteilungsfunktion F_M_n(x) = F(x)^n und die Dichte f_M_n(x) = n f(x) F(x)^{n-1} (sofern f existiert).

Besonderheiten: Für X_i ~ Uniform(0,1) gilt F(x) = x auf dem Intervall [0,1], und F_M_n(x) = x^n, f_M_n(x) = n x^{n-1}. Damit folgt M_n ~ Beta(n,1).

In der Extremwerttheorie gehört der Maximumsfall zur Extremverteilung. Unter geeigneter Normalisierung (a_n, b_n) konvergieren die Verteilungen von (M_n - b_n)/a_n gegen eine der drei Typen der Extremwertverteilung: Gumbel (Typ I), Fréchet (Typ II) oder Weibull (Typ III), je nach Tail-Verhalten der Ursprungsverteilung.

Anwendungen finden sich in Zuverlässigkeits- und Risikobewertungen, Umweltforschung und Worst-Case-Analysen, wo das Maximum einer Stichprobe maßgeblich die Kriterien bestimmt.

Beobachtungen: Die Maximalverteilung ist eng mit Ordinalstatistiken (Maximum) verbunden und dient oft als Ausgangspunkt für Schätzungen der Tail-Indizes in der Extremwertanalyse.