Maximalizácia

Maximalizácia je pojem používaný v matematike, optimalizácii a ekonomike na opis procesu hľadania vstupov alebo konfigurácií, ktoré vedú k čo najväčšej hodnote cieľovej funkcie. Cieľom je nájsť x z množiny X taký, že f(x) je maximum. Rozlišujeme globálne maximum, najväčšiu hodnotu f na celej množine, a lokálne maximum, ktoré je najväčšie v okolí bodu.

V diferenciálnom rámci sa často vychádza z predpokladu, že f je diferencovateľná; kritické body sú miesta, kde gradient f(x) = 0 alebo kde derivácie nie sú definované. V mnohorozmernom prípade to znamená, že gradient je nulový a druhý variant (Hessian) je negatívne definitný. Pri obmedzených problémoch sa hľadá maximum na danom priestore obmedzení, často pomocou Lagrangeových multiplikátorov na zahrnutie podmienok.

Medzi bežné metódy patria gradientný vzostup a Newtonova metóda. Pre nekonvexné problémy sa často používajú subgradientové metódy a heuristiky ako simulované žíhanie alebo evolučné algoritmy. V prípade konkávnej cieľovej funkcie na konvexnom priestore je lokálne maximum aj globálne.

Použitie maximalizácie je široké: v ekonomike na maximalizáciu zisku, v inžinierstve na maximalizáciu výkonu alebo efektivity, v strojovom učení a štatistike na maximalizáciu pravdepodobnostnej zhody alebo hustoty modelu, či pri riadení a optimalizácii procesov.