derivácie

Derivácie je slovenský termín pre derivácie, ktorý sa používa v rôznych oblastiach matematiky, algebry a jazykovedy. V najčastejšom význame ide o derivácie funkcií, čo meria okamžitú mieru zmeny funkcie.

V kalkulu je derivácia vymedzená ako limitný pomer: f'(x0) = lim_{h→0} [f(x0+h) − f(x0)]/h, ak limita existuje. Derivácia predstavuje sklon tangentnej priamky ku grafu funkcie v bode x0 a býva zapisovaná ako f'(x) alebo df/dx. Všeobecnejšie platí aj vyššie poriadkové derivácie, napríklad f''(x) = d^2f/dx^2. Pre funkcie viacerých premenných sú dôležité čiastočné derivácie ∂f/∂xi a gradient, ako aj smerové derivácie, ktoré počítajú mieru zmeny podľa určeného smeru. Derivácie sú základným nástrojom na modelovanie pohybu, fyzikálnych javov, optimalizácie a určovania extrémov.

V abstraktnejšej algebre predstavuje derivácia na kruhu alebo iných štruktúrach lineárnu mapu D, ktorá splňuje Leibnizov vzorec D(ab) = a D(b) + D(a) b. Derivácie všeobecne rozširujú pojem diferenciácie na algebraické objekty a nachádzajú uplatnenie napríklad v polynomiálnych kruhoch alebo nonkomutatívnych prstavbách.

V jazykovede označujú derivácie procesy, ktorými sa zo základov odvodzujú nové slová prostredníctvom affixácie, tvorby slov alebo konverzie.

Historicky sa pojem derivácie objavil s rozvojom kalkulu v 17. storočí (Newton, Leibniz) a významne sa ďalej rozvíjal v 19. a 20. storočí.

---