Masteryhtälöitä

Masteryhtälöt, eli master equations, ovat stokastisten prosessien kuvaamiseen käytettyjä differentiaali- ja integro-differential-yhtälöitä, joiden avulla määritellään ajassa tilojen todennäköisyyksien muutos. Ne ovat keskeisiä sekä teoreettisessa että sovelletussa kontekstissa, kun tutkitaan järjestelmiä, joissa tila muuttuu sattumanvaraisesti ajan funktiona.

Discrete state -tiloissa masteryhtälöt ilmaisevat, miten tilan i todennäköisyys P_i(t) muuttuu. Yleinen muoto on dP_i/dt = Σ_j [W_{ji} P_j - W_{ij} P_i], jossa W_{ij} on siirtymänopeus tilasta i tilaan j. Matriisi muotoon kirjoitettuna P'(t) = P(t) Q, jossa Q on generaattori (nopeusmatriisi) ja q_{ii} = -Σ_{j≠i} q_{ij}, q_{ij} ≥ 0. Tällöin tilojen todennäköisyysavaruus säilyttää rahdin.

Muun tilan tiloissa masteryhtälöt ovat integro-differential-yhtälöitä, kuten ∂p(x,t)/∂t = ∫ [W(x|x') p(x',t) − W(x'|x) p(x,t)] dx', jolloin p(x,t) on todennäköisyystiheys tilassa x. Tämä kuvaa jatkuvat tilat ja on yleinen continous-time Markovin ketjuissa sekä stokastisissa prosesseissa.

Esimerkkejä ovat kemiallinen mastery-yhtälö, joka kuvaa molekyylikoonnusten tilannetta reaktioverkoissa, sekä populaatio- ja geneettiset mallit. Torjuntana käytetään usein numeerisia menetelmiä, generointifunktioita tai Gillespie’n stokastista simulointia (SSA) ratkaisujen saamiseksi. Rajoitustapauksissa, suurien kopioarvojen yhteydessä masteryhtälö voidaan approximatiivisesti johtaa Fokker-Planck-yhtälöihin.

Monet sovellukset sijoittuvat kemiaan, fysiikkaan, biologiaan, jonotutkimukseen ja populaatiokäsittelyihin, missä masteryhtälöt tarjoavat tarkan tavan kuvata järjestelmän stokastista dynamiikkaa.