Malliteoreettiset

Malliteoreettiset käsitteet viittaavat malliteorian tutkimusaiheisiin ja ilmiöihin. Malliteoria on logiikan ala, joka tutkii teorioita ja niiden malleja sekä näiden välisiä suhteita. Teorian lauseet määrittelevät säännöt, joilla malleissa voidaan tulkita totuutta, ja mallit ovat rakenteita, joissa nämä säännöt voivat toteutua tai olla toteutumatta. Keskeistä on ymmärtää, miten sama teoria voi ilmetä erilaisten rakenteiden kautta.

Keskeisiä käsitteitä ovat teoria ja malli sekä totuustulkinta: jos lause φ on tosi mallissa M, sanotaan että M täyttää φ (ilmaistaan usein merkinnällä M ⊨ φ). Teoriat ovat lauseiden joukko, ja teoria on johdonmukainen, jos sillä on ainakin yksi malli. Tärkeiksi käsitteiksi nousevat myös tyyppi (type), jonka toteutumista tutkitaan, sekä täyttö ja saturaatio. Ultraproductit ja ultrapowerit ovat keinoja rakentaa uusia malleja olemassa olevista rakenteista. Määritettävyys (definability) kuvastaa sitä, voiko ominaisuuden tai kokonaisuuden kuvailla mielekkäin lausein.

Keskeisiä teoreettisia suuntauksia ovat stabiilisuus ja klassifikaatioteoria sekä o-minimaliteetti, jotka tutkivat mallien käyttäytymistä, monimutkaisuutta ja definabilitya laajemmissa konteksteissa. Teoreettisia tuloksia kuten Löwenheim–Skolem-laki ja kompaktiteoreema muodostavat perustan, jolla pienistä ja suurista malleista voidaan tehdä johtopäätöksiä teorioista.

Sovellukset ulottuvat matematiikan useille aloille: algebraan, algebraiseen geometriaan sekä reaali- ja kompleksilogiikkaan. Malliteoria sekä sen menetelmät ovat olleet vaikutusvaltaisia myös tietotekniikassa, erityisesti finitoidussa malliteoriassa. Moderni tutkimus yhdistää loogiset periaatteet moniin muihin matemaattisiin aloihin sekä sovellusalueisiin.

Historia: moderni malliteoria kehittyi 1950-luvulla Abraham Robinsonin epästandardeista analyyseistä, mutta juuret ulottuvat Löwenheim–Skolemin ja Łośin teoreemoihin 1920–1950-luvuilta.