Lämmönjohtumisyhtälön

Lämmönjohtumisyhtälö, tunnettu myös lämmön diffuusioyhtälönä, on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön leviämistä ja jakautumista aineessa ajan funktiona. Yhtälö perustuu Fourierin lämmönjohtumislakiin, joka toteaa lämpövuon olevan verrannollinen lämpötilaeroon ja käänteisesti verrannollinen etäisyyteen.

Yleisessä muodossaan lämmönjohtumisyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti: ∂u/∂t = α ∇²u, missä u on lämpötila, t on aika, α on lämmönjohtavuuskerroin, joka kuvaa aineen kykyä johtaa lämpöä, ja ∇² on Laplacen operaattori, joka kuvaa lämpötilan toista derivaattaa tilassa.

Yhtälö auttaa ennustamaan, miten lämpötila muuttuu kappaleessa tai järjestelmässä ajan kuluessa, kun otetaan huomioon alkulämpötila ja rajapintaolosuhteet. Sitä käytetään laajasti fysiikassa, insinööritieteissä ja muilla aloilla, kuten materiaalitieteessä, termodynamiikassa ja geotieteissä. Esimerkiksi rakennustekniikassa sitä voidaan käyttää eristeiden tehokkuuden laskemiseen tai rakenteiden lämpökuormituksen arvioimiseen.

Lämmönjohtumisyhtälön ratkaiseminen voi olla haastavaa riippuen geometrisesta muodosta, materiaalin ominaisuuksista ja annetuista reunaehdoista. Ratkaisuja voidaan löytää analyyttisesti yksinkertaisissa tapauksissa tai numeerisesti monimutkaisemmissa tilanteissa käyttäen esimerkiksi differenssimenetelmiä.