Luonnollisten

Luonnollisten luvut ovat lukujen joukko, jota käytetään määräämiseen ja laskemiseen. Suomessa käytetään yleisesti kahta vakiintunutta määritelmää: N = {0, 1, 2, ...} tai N = {1, 2, 3, ...}. Luonnolliset luvut muodostavat aritmetiikan perustan, ja niihin määritellään operatiiviset toiminnot lisäys ja kertolasku, joiden tulokset pysyvät joukossa. Tärkeimmät ominaisuudet ovat sulkeutuvuus, sekä kommutatiivisuus ja assosiatiivisuus sekä jakson ja distributiivisuus luvuille.

Peano-aksioiden mukaan jokaisella n ∈ N on seuraaja S(n), ja 0 ei ole minkään luvun seuraaja. S on yksikäsitteinen injektio, ja jokainen luku on jollain hetkellä seuraaja jostakin luvusta. Induktio-oikeus on keskeinen: jos ominaisuus P pätee nollalle (tai yhdelle) ja nole järjestyksessä, jolloin P(n) ⇒ P(S(n)) kaikille n, niin P pätee kaikille luonnollisille luvuille.

Luonnollisten lukuja käytetään tiiviisti määrittelemään ja analysoimaan lukujärjestyksiä, sekvenssejä sekä aritmetiikan peruslaskutoimituksia. Ne ovat äärettömän suuria ja ne ovat laskettavissa (countable) eli niiden kardinaliteetti on aleph-nol. Luonnolliset luvut ovat myös Upotettavissa reaalilukujen joukkoon ja toimivat perustana monille matemaattisen todistamisen ja loogisen rakenteen käsitteille. Eri konteksteissa käytetään joskus erilaisia konventioita siitä, aloitettaanko nollasta vai yhdestä, mikä on syytä huomioida lähdeteoksessa.