Logaritmfunktionen

Logaritmfunktionen log_b(x) är inversen till exponentialfunktionen b^x. För basen b>0 och b≠1 är funktionen definierad för argumentet x>0. Värdemängden är alla reella tal, det vill säga (-∞, ∞).

Basval: Om basen b är e kallas det naturliga logaritmen och betecknas ln(x). Om basen är 10 kallas den vanligen den decimala logaritmen och betecknas log(x) i many sammanhang. För varje bas b>0, b≠1 gäller log_b(x) = ln(x)/ln(b).

Egenskaper: log_b(xy) = log_b x + log_b y och log_b(x^k) = k log_b x. Dessutom log_b(1/x) = - log_b x. Change of base-formeln säger log_b x = log_k x / log_k b för vilken bas som helst k>0, k≠1.

Derivata och integral: d/dx log_b x = 1/(x ln b). För den naturliga logaritmen ln(x) är derivatan 1/x. Integralen är ∫ log_b x dx = (x ln x - x)/ln b + C.

Beteende och graf: För b>1 ökar log_b(x) när x växer, medan den för 0<b<1 minskar. Funktionen har en vertikal asymptot vid x→0+. Gränserna är log_b x → -∞ när x→0+, och log_b x → ∞ när x→∞.

Användningar: Logaritmfunktionen används bland annat för att lösa exponentialekvationer, beskriva tillväxt och nedbrytning, hantera skala- och mätproblem samt i finansiell matematik och olika vetenskapsområden där linjära relationer i log-skala är önskvärda.