Lisäysmalli

Lisäysmalli on tilastollinen malli, jossa vasteen odotettu arvo voidaan esittää summana erilaisten muuttujien vaikutuksista. Siinä jokaisella muuttujalla on oma funktionsa, ja näiden funktioiden summa malli muodostaa selityksen vasteelle. Jos jokaisen vaikutuksen funktio on lineaarinen, kyseessä on perinteinen lineaarinen lisäysmalli. Jos vaikutukset voivat olla epälineaarisia, malli muodostuu yleisemmäksi lisäysmalliksi.

Matemaattisesti yleinen lisäysmalli kirjoitetaan usein Y_i = β0 + f1(X1i) + f2(X2i) + ... + fp(Xpi) + ε_i, jossa fi ovat muuttujan Xi yksilöllisiä vaikutuksia. Mikäli vasteen jakauma ja linkkifunktio sallivat, malli voidaan laajentaa yleistettyyn lisäysmalliin (GAM): g(E[Y|X]) = β0 + Σ fi(Xi). Tässä fi voivat olla ei-lineaarisia funktioita esimerkiksi hyppy-, splini- tai kernel-sovelluksilla.

Estimaatio ja valinta menettelyissä GAM:n ja lisäysmallien tapauksissa perustuvat usein backfitting- tai muiden iteratiivisten algoritmien käyttöön, sekä säännöllistämiseen ja sovitteisiin (esim. splinit, paksuuntamiset). Smoothing-parametrien valintaan käytetään ristiinvalidaatiota, AIC:tä tai muutamia muita tiettyyn kontekstiin soveltuvia kriteerejä.

Käyttökohteet ja tulkinta: lisäysmallit tarjoavat tulkittavuutta, koska kunkin tekijän vaikutus voidaan esittää erikseen. Ne soveltuvat, kun halutaan kuvata sekä lineaarisia että ei-lineaarisia suhteita. Rajoitteina ovat joidenkin tekijöiden yhteisvaikutusten puuttuminen additiivisesta rakenteesta ilman erillisiä vuorovaikutuksia; korkea ulottuvuus voi vaatia monimutkaisempia ratkaisuja.

Historia ja sovellukset: lisäysmallit ovat tulleet laajasti tunnetuiksi 1990-luvulla Hastieen ja Tibshiraniin liittyen yleistettyjen lisäysmallien (GAM) kehittämiseen. Niitä käytetään monilla tieteenaloilla, kuten ympäristö- ja epidemiologisessa tutkimuksessa sekä taloudellisessa ja teknisessä energiatrendien mallinnuksessa.