Lineaariyhtälöryhmä

Lineaariyhtälöryhmä on kokoelma lineaarisia yhtälöitä, joissa on samat tuntemattomat muuttujat. Tavoitteena on yleensä löytää muuttujien arvot, jotka toteuttavat samanaikaisesti kaikki yhtälöryhmän yhtälöt. Lineaariset yhtälöt ovat sellaisia, joissa muuttujat esiintyvät korkeintaan ensimmäisessä potenssissa, eikä niitä kerrota keskenään.

Lineaariyhtälöryhmiä voidaan esittää muodossa Ax = b, missä A on kerroinmatriisi, x on tuntemattomien muuttujien vektori ja b on vakioiden vektori. Tämän muotoinen esitys on yleinen lineaarialgebrassa ja mahdollistaa tehokkaiden ratkaisumenetelmien käytön.

Lineaariyhtälöryhmien ratkaisemiseen on olemassa useita menetelmiä. Yleisiä menetelmiä ovat eliminointimenetelmä (kuten Gaussin eliminaatio), sijoitusmenetelmä ja matriisimenetelmät (kuten Cramerin sääntö tai matriisin käänteisluvun käyttö). Menetelmän valinta riippuu usein yhtälöryhmän koosta ja rakenteesta.

Lineaariyhtälöryhmillä on sovelluksia monilla tieteen ja tekniikan aloilla, kuten fysiikassa, taloustieteessä, tietokonenäössä ja signaalinkäsittelyssä. Ne ovat perustyökaluja useiden ongelmien mallintamisessa ja ratkaisemisessa, jotka voidaan redusoida lineaariseen muotoon. Yhtälöryhmällä voi olla yksikäsitteinen ratkaisu, äärettömän monta ratkaisua tai ei lainkaan ratkaisua.