Lineaarisuuteen

Lineaarisuus on matemaattinen käsite, joka kuvaa suhteita ja toimintoja, joissa vaste kasvaa tai pienenee mittakaavallisesti. Lineaarisuus tarkoittaa, että toiminto säilyttää sekä yhteenlaskun että skalaarin kertymän. Tarkasti: jos f on vektoritilojen V ja W välillä, f on lineaarinen jos f(u+v) = f(u) + f(v) ja f(αu) = α f(u) kaikille u,v ∈ V ja kaikille skaalille α.

Lineaarinen muunnos voidaan esittää matriisina. Kun V ja W ovat vektoritiloja, joissa on valittu perusjoukko, on olemassa matriisi A siten, että f(x) = A x. Tämä mahdollistaa geometrian ja algebran yhdistämisen sekä laskennan tehokkaasti.

Lineaarisuutta hallitsevat useat perusominaisuudet. Esimerkiksi lineaariset järjestelmät A x = b voivat olla ratkaistavissa, jos b kuuluu kuormittuvuuden tilaan; homogeenisessa tapauksessa A x = 0 ratkaisut muodostavat vektoritilan alijoukon, nimeltään kernel. Ratkaisujen kokonaisuus koostuu erityisestä ratkaisusta plus kernelin vektorista.

Lineaarisuutta sovelletaan monilla aloilla: lineaariset muunnokset muodostavat lineaarialgebran perustan, ja niitä käytetään signaalinkäsittelyssä, grafiikassa, fysiikassa sekä taloustieteissä. Sen etu on ennustettavuus, laskennan yksinkertaisuus ja mahdollisuus yleiskäyttöön sekä teoreettisessa että soveltavassa mielessä.