Lineaarisuudelle

Lineaarisuus on matemaattinen ominaisuus, joka kuvaa, miten operaatio tai funktio suhtautuu yhteenlaskuun ja skaalaukseen. Se on keskeinen käsite lineaarialgebrassa sekä useissa sovellusalueissa, kuten differentiaali- ja integraalilaskennassa sekä signaalinkäsittelyssä, joissa malleina korostuu superposition-periaate.

Määritelmä: Funktio f: V → W, jossa V ja W ovat vektoriavaruuksia, on lineaarinen, jos se täyttää additiivisuus- ja homogeneisuusominaisuudet: f(u + v) = f(u) + f(v) kaikilla u, v, ja f(a u) = a f(u) kaikilla u ja kaikilla skaalauksilla a. Näin f säilyttää sekä vektoriyhteenlaskun että skalaarin kertomisen. Lineaarisia karttoja voidaan esittää matriisimuodossa: jos V ≅ F^n ja W ≅ F^m, on olemassa m×n-matriisi A, jolloin f(x) = A x.

Esimerkkejä: Identtinen kartta id: V → V, nollakartta 0 sekä projektioiden ja monikertojen kartat ovat lineaarisia. Derivaatio-operaattori D on lineaarinen: D(f + g) = Df + Dg ja D(a f) = a Df. Ei-lineaarisia ovat esimerkiksi f(x) = x^2, f(x) = |x| tai monet ei-lineaariset järjestelmät.

Sovellukset: Lineaarisuus mahdollistaa järjestelmien analyysin superposition-periaatteen avulla, jolloin monimutkaiset ilmiöt voidaan kuvata ja ratkaista matriisi- ja vektori- muodossa. Sitä käytetään laajasti fysiikassa, insinööritieteissä, taloustieteessä ja tilastotieteessä.

Lineaarisuudelle on suomen kielen allatiivin muoto lineaarisuudelle, jota käytetään viittaamaan lineaarisuuden ominaisuuteen tai siihen liittyviin käsitteisiin. Esimerkiksi "lineaarisuudelle asetetut ehdot" tarkoittaa ehtoja, jotka koskevat lineaarisuutta.