Lineaariryhmä

Lineaariryhmä on ryhmä, joka koostuu lineaarikuvauksista, jotka vaikuttavat vektoritilassa. Yksinkertaisimmillaan lineaarisella kuvauksella tarkoitetaan matriisikertolaskua. Siten lineaariset ryhmät liittyvät läheisesti matriisiryhmiin.

Lineaariryhmä määritellään yleensä tietyn vektoriavaruuden Avaruuden (esim. reaalilukujen tai kompleksilukujen) yli. Lineaariryhmän elementit ovat kääntyviä lineaarikuvauksia tästä avaruudesta itseensä. Ryhmän laskutoimitus on kuvausten yhdistäminen, ja ryhmän neutraalialkio on identiteettikuvaus.

Tunnetuin lineaarisista ryhmistä on yleinen lineaarinen ryhmä GL(n, K), joka koostuu kaikista kääntyvistä n×n matriiseista, joiden alkiot ovat joukosta K. Joukko K voi olla esimerkiksi reaalilukujen joukko R tai kompleksilukujen joukko C. Aliryhmiä GL(n, K) ovat esimerkiksi erikoislineaarinen ryhmä SL(n, K), jonka matriisien determinantti on 1, ja ortogonaalinen ryhmä O(n), jonka matriisit säilyttävät vektorin pituuden.

Lineaarisilla ryhmillä on keskeinen rooli monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Niitä esiintyy lineaarialgebrassa, teoriassa differentiaaliyhtälöistä ja kvanttimekaniikassa. Lineaariset ryhmät tarjoavat tehokkaan tavan kuvata symmetrioita ja muunnoksia, jotka säilyttävät tiettyjä geometrisia ominaisuuksia.