Lineaariryhmän

Lineaariryhmään viittaa yleensä yleiseen lineaariseryhmään, jota merkitään GL(n, F) tai GLn(F). Tämä on ryhmä kaikista kääntyvistä n x n matriiseista, joiden alkiot ovat jostakin tietystä kunnasta F. Ryhmäoperaatio on matriisikertolasku. Kertausta varten ryhmä on joukko, jossa on määritelty binäärinen operaatio, joka täyttää seuraavat ehdot: sulkeuma, assosiatiivisuus, neutraalialkion olemassaolo ja käänteisalkion olemassaolo jokaiselle alkiolle. GL(n, F):n tapauksessa matriisien sulkeuma operaationa on matriisikertolasku. Koska matriisikertolasku on assosiatiivinen, myös tämä ehto täyttyy. Neutraalialkio on identiteettimatriisi I, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä ja muut alkiot nollia. Kääntyvien matriisien määritelmän mukaan jokaisella GL(n, F):n alkiolla on käänteisalkio.

Kunta F voi olla esimerkiksi reaalilukujen joukko R, kompleksilukujen joukko C tai äärellinen kunta. Kun F on reaalilukujen joukko, puhutaan reaalisesta lineaariseryhmästä GL(n, R). Kun F on kompleksilukujen joukko, puhutaan kompleksisesta lineaariseryhmästä GL(n, C). Yleinen lineaariryhmä on tärkeä käsite lineaarialgebrassa ja ryhmäteoriassa, ja sitä käytetään monilla matematiikan ja fysiikan aloilla. Esimerkiksi se on keskeinen kuvausten tutkimisessa lineaariavaruuksien välillä. Erityistapauksena mainittakoon ortogonaaliryhmä O(n) ja unitaariryhmä U(n), jotka ovat GL(n, R):n ja GL(n, C):n aliryhmiä, jotka säilyttävät sisätulon.