Lineaarimuutokset

Lineaarimuutokset ovat keskeinen käsite lineaarialgebrassa. Ne ovat funktioita vektoriavaruuksien välillä, jotka säilyttävät vektoriavaruuksien rakenteen. Tarkemmin sanottuna, lineaarimuutos T: V -> W on funktio vektoriavaruudesta V vektoriavaruuteen W, joka toteuttaa kaksi ehtoa kaikille vektoreille u, v V:ssä ja kaikille skalaareille c:

1. T(u + v) = T(u) + T(v) (additiivisuus)

2. T(c * u) = c * T(u) (homogeenisuus)

Nämä ehdot tarkoittavat, että lineaarimuutos säilyttää vektorien summan ja skalaarilla kertomisen. Toisin sanoen, muunnoksen tekeminen kahden vektorin summan tai skalaarilla kerrotun vektorin jälkeen on sama kuin muunnosten tekeminen ensin ja sitten tulosten summaaminen tai skalaarilla kertominen.

Lineaarimuunnoksia voidaan esittää matriisien avulla. Jos V ja W ovat äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, jokaiselle lineaarisille muunnokselle T: V -> W on olemassa uniikki matriisi A siten, että T(x) = Ax kaikille vektoreille x V:ssä. Tämä matriisi A tunnetaan muunnoksen A matriisina. Matriisin sarakkeet saadaan soveltamalla muunnosta V:n kantavektoreihin. Matriisikertolasku itsessään on esimerkki lineaarisesta muunnoksesta.

Lineaarimuunnoksilla on laaja sovellusalue matematiikassa, fysiikassa, tietokonegrafiikassa, koneoppimisessa ja monilla muilla tieteenaloilla. Niitä käytetään esimerkiksi geometristen muunnosten, kuten rotaatioiden, skaalauksien ja heijastusten, kuvaamiseen. Lisäksi ne ovat perustana monien differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmien ymmärtämiselle.