Lineaarijärjestelmissä

Lineaarijärjestelmä on järjestelmä, jonka vaste noudattaa lineaarisuutta. Siinä superposition ja homogeneisyyden periaate pätevät: jos syötteille x1(t) ja x2(t) annetaan vasteet y1(t) ja y2(t), niin a x1(t) + b x2(t) antaa vasteen a y1(t) + b y2(t). Usein oletetaan myös aikainvarianttiutta, jolloin vasteen muoto ei muutu ajan kuluessa.

Lineaariset järjestelmät voidaan kuvata useilla tavoilla. Aikadomainissa ne määräytyvät differentiaali- tai erotusyhtälöillä, ja vaste liittyy syötteeseen konvoluution kautta y(t) = ∫ h(τ) x(t − τ) dτ. Impulssivaste h(t) kuvaa järjestelmän vasteen kun syötteenä on impulssi. Siirtokerroin H(s) kuvaa järjestelmän taajuusvasteita kontinuaalisessa ajassa ja z-siirto H(z) diskreetissä ajassa. Tilayhtälöissä x' = Ax + Bu, y = Cx + Du tarjotaan toinen, yleinen kuvausmalli.

Keskeisiä ominaisuuksia ovat lineaarisuus (superpositio ja skaalaus) sekä usein aikainvarianttius. Vakaan toiminnan arvioimiseksi käytetään usein BIBO-stabiilisuutta: jos syöte on rajallinen, tulostakin pidetään rajallisena. Järjestelmän taajuusvaste kertoo, miten eri frekvenssit muokataan.

Esimerkkejä lineaarijärjestelmistä ovat sähköinen RC- tai RLC-kytkentä sekä mekaaninen massa–jousi–vaimenninjärjestelmä ja signaalinkäsittelysuodattimet. Lineaarisuus tarjoaa yksinkertaisen ja tehokkaan tavan analysoida ja suunnitella järjestelmiä, mutta monet järjestelmät ovat ei-lineaarisia tai aikavariantteja, jolloin lineaarinen malli on vain lähentely.