Lebesguemértékkel

A Lebesgue-mérték az R^n-re definiált mérték, amely a Lebesgue-measurábilis halmazokra van értelmezve. A legközvetlenebb megközelítés az úgynevezett külső mérték, m^*(A), amelyet nyílt intervallumokkal való fedésekkel adunk meg: m^*(A) = inf összegek hosszából származó intervallumok fedéseinek összegére. A halmaz A Lebesgue-measurábilis, ha minden E⊂R^n-re fennáll m^*(E) = m^*(E∩A) + m^*(E∩A^c). A Lebesgue-mérték m(A) = m^*(A) minden ilyen halmazra.

A mérték fő tulajdonságai közé tartozik a transláció invariancia (m(A+x) = m(A) minden x∈R^n), a σ-additivitás és a teljesség: minden nullát halmaz alhalmazát is Lebesgue-measurábilissá teszi és m(típusú halmazok) értéke nulla. Az n-dimenziós téglatestekre és zárt sokszögekére a mérték a hosszúságok szorzatával adódik, például egy doboz [a1,b1]×…×[an,bn] mértéke = ∏i(bi−ai). A véges vagy könyebb halmazok általában pozitív mértékkel rendelkeznek, a számolható halmazok (például ponthalmazok) mértéke nulla.

A Lebesgue-mérték teljessége és translációs invarianciája miatt a fejezhető leírás a mértéken alapuló integrálás alapja: a Lebesgue-integrál a mértéken van definiálva, és több fontos tétel, például a dominált konvergencia elve és a Fubini-tétel alkalmazható. Nem minden halmaz Lebesgue-measurábilis (például Vitali-féle halmaz létezik), de a Lebesgue-mérték a legtöbb gyakorlati feladat természetes keretrendszerét adja.