Lebesgueintegraatio
Lebesgue-integraatio on mittausteoriassa käytetty tapa määritellä funktion integraali. Se laajentaa Riemannin integroinnin kattavuutta ja on erityisen hyödyllinen, kun funktiot ovat epätasaisia, epäjatkuvia tai kun alueet, joilla funktio toimii, ovat monimutkaisia.
Keskeinen idea on rakentaa integraali yksinkertaisista funktioista. Ei-negatiiviselle mitattavalle f: X → [0, ∞) Lebesgue-integraali määritellään supremaalina kaikkien
Keskeisiä ominaisuuksia ovat lineaarisuus sekä convergence-teoreemit. Monotonisen konvergenssiteoreeman mukaan kasvavien jonojen funktioiden ∫ annetaan rajalla, Dominated Convergence
Lebesgue-integraatio johtaa Lp-tilojen kehittymiseen: Lp(μ) koostuu mitattavista funktioista, joiden p-normi ∥f∥p = (∫ |f|^p dμ)^{1/p} on finite. Näillä
Historia: Lebesgue kehitti integrointimenetelmänsä 1900-luvun alussa, mikä loi mittausteorian ja analyyttisen ajattelun uuden perustan.