Lebesgueintegraatio

Lebesgue-integraatio on mittausteoriassa käytetty tapa määritellä funktion integraali. Se laajentaa Riemannin integroinnin kattavuutta ja on erityisen hyödyllinen, kun funktiot ovat epätasaisia, epäjatkuvia tai kun alueet, joilla funktio toimii, ovat monimutkaisia.

Keskeinen idea on rakentaa integraali yksinkertaisista funktioista. Ei-negatiiviselle mitattavalle f: X → [0, ∞) Lebesgue-integraali määritellään supremaalina kaikkien s, jotka ovat yksinkertaisia ja s ≤ f, integraaleista: ∫ f dμ = sup { ∫ s dμ }. Yleinen mitattava f kirjoitetaan f = f+ − f−, missä f+ = max(f, 0) ja f− = max(−f, 0). Integroitavuus määritellään siten, että ∫ f on ∫ f+ − ∫ f−, ja erityisenä tapauksena, jos ∫|f| < ∞, funktio f on Lebesgue-integroitavissa.

Keskeisiä ominaisuuksia ovat lineaarisuus sekä convergence-teoreemit. Monotonisen konvergenssiteoreeman mukaan kasvavien jonojen funktioiden ∫ annetaan rajalla, Dominated Convergence Theorem puolestaan sallii integraalin siirtämisen rajoista, kun funktioita kyllästetään rajaavalla, peaavalla funktiolla. Fatoun lause ja Tonellin teoreema ovat tärkeitä välineitä epäjatkuvien ja ei-homogeenisten joukkojen analyysissä.

Lebesgue-integraatio johtaa Lp-tilojen kehittymiseen: Lp(μ) koostuu mitattavista funktioista, joiden p-normi ∥f∥p = (∫ |f|^p dμ)^{1/p} on finite. Näillä tiloilla on keskeisiä sovelluksia sekä todennäköisyyslaskennassa että analysissa.

Historia: Lebesgue kehitti integrointimenetelmänsä 1900-luvun alussa, mikä loi mittausteorian ja analyyttisen ajattelun uuden perustan.