Kõverad

Kõverad on geomeetrilised objektid, mis moodustavad ühe mõõtmelise kogumi. Neid võib esitada kahe- või kolmemõõtmelises ruumis. Kõvera punktide kogumit saab kirjeldada parameetriliste võrranditega r(t) = (x(t), y(t)) planeets või r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ruumis, või implicit võrrandiga F(x,y)=0 planeedil või F(x,y,z)=0 ruumis. Kui parameetriline kirjeldus on sujuv ja r'(t) ≠ 0 kõigil t, mil kõver on defineeritud, nimetatakse kõverat regulaarseks.

Planaarsete ehk tasandiliste kõverate all mõistetakse kõveraid, mis jäävad ühte tasandisse. Näidetena on sirgjoon, ring, ellips ja parabool ning teised planeedsed kujundid. Ruumi kõverad võivad asuda kolmes mõõtmes ja nende trajektorid ei pea jääma ühele tasandile; neid kirjeldatakse tavaliselt kolmemõõtmeliste parameetriliste võrranditega või implicit võrranditega ruumis.

Algebrailised kõverad planees on määratud polünoomvõrrandiga f(x,y) = 0, kus f on kahe muutuja polünoom. Aste (degree) näitab kõvera keerukust. Näited: sirgjoon f(x,y) = ax + by + c = 0; ring f(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0; parabool f(x,y) = y - x^2 = 0. Algebrailistel kõveratel võivad esineda singulaarsed punktid, kus gradient (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (0,0). Üldiselt iseloomustatakse kõverat ka genuse kaudu, mis kirjeldab topoloogilist keerukust.

Kasutused hõlmavad matemaatikat, füüsikat, inseneeriat ja arvutigraafikat. Erilist tähtsust omab elliptic curves uurimine number theorys ja krüptograafias. Kõverad pakuvad kontseptsioone ja tööriistu trajektoriate planeerimiseks, kujundamisel ning erinevates rakendustes.