Kvantorilauseke

Kvantorilauseke on muodollinen rakennus logiikassa, joka ilmaisee kvantifioinnin. Se koostuu kvantorimerkistä (universaali ∀ tai eksistentialinen ∃), sidotusta muuttujasta ja sen lausekkeesta, jonka sisällöstä kvantointi toteutuu. Kvantorilauseke määrittelee, miten lausekkeen totuus määritellään domainin alkioiden yli.

Tyypit ja semantiikka: Universaali kvantori ∀x φ(x) on tosi, jos φ(a) on tosi jokaiselle domainin alkiolle a. Eksistentialinen kvantori ∃x φ(x) on tosi, jos on olemassa alkio a, jolle φ(a) on tosi. Lausekkeen laajuus (scope) määrittelee, mihin osa lausekkeesta kvantori vaikuttaa. Muuttuja voi olla sidottu tai vapaa: kvantorit sitovat muuttujia, ja sisäkkäiset kvantorit voivat muuttaa sidontaa.

Esimerkkejä: ∀x (P(x) → Q(x)) tarkoittaa, että kaikille x pätee, että P(x) implikoi Q(x). ∃x (R(x) ∧ S(x)) tarkoittaa, että on olemassa x, jolla sekä R(x) että S(x) ovat totta. Eri kvantorijärjestys ei välttämättä ole sama: ∀x ∃y φ(x,y) ei yleisesti ole sama kuin ∃y ∀x φ(x,y).

Lisäkonseptit: Kvantorit voidaan siirtää prenex normalformiin, jolloin kaikki kvantorit ovat lausekkeen ulkokuorella. Eksistentialiset kvantorit voidaan poistaa Skolemisaatiolla. Kvantorilausekkeet ovat keskeisiä predikaattilogiikassa ja niitä käytetään matematiikassa, tietojenkäsittelytieteessä sekä luonnollisen kielen semanttisten analyysien yhteydessä.