Kurvenlänge

Kurvenlänge, auch Arc length genannt, bezeichnet das Maß der Länge einer Kurve im euklidischen Raum. Sei c:[a,b] → R^n eine glatte Parametrisierung der Kurve. Dann ist die Länge L definiert als L = ∫_a^b ||c'(t)|| dt, sofern c' stetig ist. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl der Parametrisierung; Reparametrisierungen mit monotoner Funktion liefern denselben Wert.

Für eine Kurve in der Ebene, die als Funktionsgraph y=f(x) über [a,b] gegeben ist, gilt L = ∫_a^b sqrt(1+(f'(x))^2) dx. In der Parametrischen Darstellung x(t), y(t) lautet L = ∫_a^b sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt. Im Raum (3D) variiert L entsprechend mit z(t): L = ∫_a^b sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2) dt. Für stückweise glatte Kurven ist L die Summe der Längen der einzelnen Glieder.

Bei praktischen Berechnungen wird L durch Näherungen über Polylinien bestimmt. Typische Methoden sind die Abbildung der Kurve durch Teilintervalle oder die Anwendung numerischer Integrale (Trapezregel, Simpsonregel). Die Länge ist der Grenzwert der Polygonlängen, sofern die Kurve nicht glatt ist oder feine Unregelmäßigkeiten aufweist.

Die Kurvenlänge findet breite Anwendungen in Geometrie, Physik, Computergrafik, Geoinformation sowie im Maschinenbau (Straßen- und Wegplanung). Eine Bogenlängenausparameterisierung r(s) hat die Eigenschaft |r'(s)| = 1 und dient unter anderem der Vereinfachung von Berechnungen entlang der Kurve.