Kugeloberflächen

Kugeloberfläche bezeichnet in der Geometrie die Randfläche einer Kugel (des Balls) im euklidischen Raum. In drei Dimensionen ist damit die Oberfläche einer gewöhnlichen Kugel gemeint. Allgemein lässt sich die Kugeloberfläche als S^{n-1}(r) = { x ∈ R^n : ||x − c|| = r } definieren, wobei c der Mittelpunkt und r der Radius ist. Sie ist die Grenzmenge des Balls B^n(c, r) und bildet eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n−1; sie ist kompakt und zusammenhängend.

Für die dreidimensionale Kugeloberfläche lässt sich eine parametrische Darstellung mit Kugelkoordinaten geben: x(θ, φ) = c + r (sinφ cosθ, sinφ sinθ, cosφ). Die Mannigfaltigkeit besitzt konstante Krümmung: Die Hauptkrümmungen sind k1 = k2 = 1/r, daher ist die Gaußsche Krümmung K = k1 k2 = 1/r^2. Die mittlere Krümmung ist konstant; je nach Konvention wird sie als H = 1/r oder in einer anderen Normierung als H = (n−1)/r angegeben. Die Kugeloberfläche ist damit ein Beispiel einer völlig umbilischen Fläche.

Die Fläche der Kugeloberfläche der Radius r in R^n beträgt A_{n-1}(r) = A_{n-1} r^{n−1, wobei A_{n-1} die Fläche der Einheitskugeloberfläche S^{n-1} ist (A_{n-1} = 2 π^{n/2} / Γ(n/2)). Im Spezialfall von n = 3 gilt A_2(r) = 4π r^2.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Computergraphik, Physik und Modellierung konstanter Krümmung sowie als Fundamentbeispiel in der Differentialgeometrie.