Kosketuskulmilla

Kosketuskulmilla on käsite geometriassa, jolla kuvataan kahden käyrän kosketuksen astetta tietyssä pisteessä. Termi yhdistää sanat kosketus ja kulma, ja sen idea on ilmaista, kuinka lähellä toinen käyrä seuraa toisen tangenttia sekä mahdollisesti korkeampien derivaattojen tasoja.

Määritelmä: Olkoot C1 ja C2 käyri, jotka kohtaavat pisteen P. Ne sanotaan kosketuskulmilla m pisteessä P, jos niiden arvo P ja niiden funktioiden ensimmäiset m derivaattaa ovat yhtä P:ssä. Käytännössä f(P)=g(P), f'(P)=g'(P), ..., f^(m)(P)=g^(m)(P), mutta seuraava derivaatta eroaa. Tällöin tangentin suunta on sama ja käyrien yhteispuolella on yhä kiinteämpi yhteentörmäys korkeamman asteen tasolla.

Esimerkki: Oletetaan y1(x)=x^2 ja y2(x)=x^2+x^3. Ne kohtaavat pisteessä P=(0,0). Arvot sekä ensimmäiset kaksi derivaattaa ovat yhtä: y1(0)=y2(0)=0, y1'(0)=y2'(0)=0, y1''(0)=y2''(0)=2, mutta kolmas derivaatta eroaa (y1'''(0)=0, y2'''(0)=6). Näin käyrät ovat kosketuskulmilla 2 kohdassa P.

Sovellukset: Kosketuskulmia käytetään käyrien analyysissä sen selvittämiseksi, kuinka tarkasti toinen käyrä voi lähestyä toista, sekä suunnittelussa ja tietojenkäsittelyssä, missä tarkka lähestymistapa ja yhtenevä derivative-taso ovat tärkeitä.

Käsitteen tausta: Kosketuskulmilla viittaa yleisesti kahden käyrän yhteiseen tangenttiin ja korkeamman asteen yhteensopivuuteen. Siitä käytetään englanninkielisessä kirjallisuudessa usein termiä order of contact.