Koordinatomvandling

Koordinatomvandling är en metod för att beskriva en punkt eller ett geometriskt objekt i olika koordinatsystem eller baser. Den används inom geometri, analys och fysik för att förenkla beräkningar eller för att uttrycka fysiska lagar som är oberoende av hur man väljer koordinater. En allmän koordinatomvandling definieras som en funktion som tar koordinater i ett ursprungssystem och returnerar koordinater i ett målssystem. Omvandlingen kan vara linjär eller icke-linjär och följer ofta en regel som relaterar koordinaterna.

I två dimensioner är vanliga omvandlingar affina eller linjära: x' = a11 x + a12 y + t1, y' = a21 x + a22 y + t2. Speciella fall är rotationen x' = x cos θ − y sin θ, y' = x sin θ + y cos θ; skalförändringarna x' = s_x x, y' = s_y y; och translationen x' = x + t1, y' = y + t2. Dessa kan kombineras i en allmän affine omvandling.

Icke-kartesiska koordinatsystem används ofta polär, cylindrisk och sfärisk omvandling. Polär: x = r cos φ, y = r sin φ; invers: r = sqrt(x^2 + y^2), φ = atan2(y, x). Cylindrisk: x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z. Sfärisk: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ (med vanliga konventioner för θ och φ); invers: r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), θ = arccos(z/r), φ = atan2(y, x).

Jacobianen beskriver hur små volymer förändras vid en transformation och är central vid ändringar av variabler i integraler: J = det ∂(x', y', ...)/∂(u, v, ...). Koordinatomvandling är viktigt inom datorgrafik, mekanik och mätteknik eftersom problem ofta blir enklare i olika koordinatsystem medan de grundläggande lagarna förblir oförändrade under lämpliga transformationer.