Konwolucja

Konwolucja to operacja matematyczna łącząca dwie funkcje, która opisuje, w jaki sposób jedną funkcję modyfikuje druga. W praktyce najczęściej występuje w analizie sygnałów, przetwarzaniu obrazów i w odpowiedziach układów liniowych. Rozróżnia się konwolucję ciągłą (dla funkcji czasu) i konwolucję dyskretną (dla sygnałów cyfrowych).

Dla funkcji f i g zależnych od czasu t konwolucja ciągła jest dana wzorem (f*g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t-τ) dτ. Dla sygnałów dyskretnych (f*g)[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} f[k] g[n-k], przy czym sumę często ogranicza się do zakresu istotnych danych. W praktyce stosuje się różne normalizacje i ograniczenia, zwłaszcza przy sygnałach o skończonej długości.

Własności konwolucji obejmują jej przemienność i łączność oraz liniowość: f*g = g*f, a także (a f + b h)*g = a (f*g) + b (h*g). W układach liniowo-czasowych (LTI) wyjście jest równoważne wejściu skróconemu impulsem odpowiedzi h, czyli y = x * h. W dziedzinie częstotliwości konwolucja przekształca się w iloczyn transformat: F{f*g} = F{f} · F{g} (dla odpowiednich normalizacji).

Zastosowania obejmują projektowanie filtrów, przetwarzanie sygnałów i obrazów, rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą funkcji Green oraz modelowanie sumy niezależnych zmiennych losowych w probabilistyce. W praktyce komputerowej konwolucję oblicza się często za pomocą szybkiej transformacji Fouriera (FFT) lub bezpośredniego splotu, z uwzględnieniem paddingu i warunków brzegowych.

W kontekście obrazów konwolucja ma postać dwuwymiarową (2D): (f*g)(x,y) = ∬ f(ξ, η) g(x-ξ, y-η) dξ dη, co umożliwia zastosowanie filtrów do wygładzania, wyostrzania lub wykrywania krawędzi.