Konvoluutioperaatio

Konvoluutioperaatio, usein pelkästään konvoluutio, on matemaattinen operaatio, joka yhdistää kaksi funktiota tuottaakseen kolmannen funktion. Tämä operaatio on keskeinen monilla tieteen ja tekniikan aloilla, mukaan lukien signaalinkäsittely, kuvankäsittely, tilastotiede ja todennäköisyysteoria. Konvoluution tuloksena syntyvä funktio kuvaa sitä, miten toisen funktion muoto muuttuu ensimmäisen funktion "suodattamana".

Matemaattisesti konvoluutio määritellään integraalina, joka laskee kahden funktion painotetun keskiarvon toisen funktion käänteisen ja siirretyn version yli. Symbolisesti, kahden funktion f ja g konvoluutio merkitään usein f * g. Jatkuvien funktioiden tapauksessa tämä esitetään usein integraalilla (f * g)(t) = ∫ f(τ) g(t - τ) dτ, missä integraali otetaan yli kaikki mahdolliset τ:n arvot. Diskreettien sekvenssien tapauksessa vastaava operaatio on summaus.

Konvoluutiolla on monia tärkeitä ominaisuuksia, kuten vaihdannaisuus (f * g = g * f) ja liitännäisyys ((f * g) * h = f * (g * h)). Se on myös lineaarinen operaatio. Signaalinkäsittelyssä konvoluutio kuvaa signaalin käyttäytymistä lineaarisessa ja aikainvariantissa järjestelmässä. Esimerkiksi, jos signaali on syöte ja järjestelmän impulssivaste on toinen funktio, konvoluutio tuottaa järjestelmän ulostulon. Kuvankäsittelyssä konvoluutio on perusta suodatusoperaatioille, kuten sumennukselle tai reunojen korostukselle, jossa pieniä kuva-alueita prosessoidaan käyttämällä konvoluutioydintä.