Konvexitás

Konvexitás, röviden konvexitás, a matematika különböző területein használt tulajdonság. Ha egy halmazt C egy vektortérben vizsgálunk, akkor C konvex, ha bármely x és y eleme együtt a halmazból, és minden t a [0,1] intervallumban kizárólag tx + (1−t)y is eleme C. Ennek praktikus velejárása, hogy a halmazon belüli bármely két pont közötti egyenes szakasza a halmazon belül marad.

Függvényeknél a konvexitás másképp értelmezett. Egy valós értékű fuggvény f konvex tartományon belül akkor konvex, ha az adott x, y és minden t a [0,1] esetén

f(tx + (1−t)y) ≤ t f(x) + (1−t) f(y).

Ha a tartomány konvex, ez a feltétel megegyezik a görbe geometriai „nem felhajlásával” az egyenes irányába. A konvex függvények epigraphja, vagyis a függvény grafikonján felhúzott olyan alsó rész, amely a grafikon felett helyezkedik el, szintén konvex halmazt képez.

Példák és ellentétek: konvex halmaz például a kerek testek, a félterületek és az összes konvex poliedra; nem konvex példák közé tartozik a gyűrű vagy egy sikamlós alakzat, amelyen belül két pontból indulva nem minden szakasz marad a halmazon. A konvex hull az a legkisebb konvex halmaz, amely tartalmaz egy adott halmazt.

Alkalmazások: konvexitás alapvető a konvex optimalizációban, ahol egy konvex célfüggvény és konvex feasible set garantálja, hogy minden lokális minima globális minima. Gyakran használják Jensen‑kategorizálásra és szubgradiens elvekre, illetve a feladatok egyszerűsítésére a konvex halmazok tulajdonságai révén.