Konvergija

Konvergija ir matemātisks jēdziens, kas apraksta to, kā kāds objektu apkopojums tuvojas noteiktam limitam. Klasiskajā analīzē par konverģenci runā par sekvenci vai sēriju, kuras termiņi vai daļproti tuvojas konkrētai vērtībai.

Sekvence converģē, ja tās locekļi tuvojas noteiktam skaitlim L, t.i., lim_{n→∞} a_n = L. Ja šāds L eksistē, secība konverģē; pretējā gadījumā sakām, ka secība diverģē vai ν neir.

Funkciju konverģence attiecas uz funkciju sērijām vai funkcijā ģenerētiem spēkiem. Punktuāli konverģence nozīmē, ka, katram punktam x, funkcionāla secība f_n(x) konverģē uz f(x). Vienmērīga konverģence stiprina šo procesu ar visu domēnu vienlaicīgu uzlabojumu, proti, sup_x |f_n(x) - f(x)| → 0. Vērā ņem arī L^p konverģenci un uniformu konverģenci uz citiem atsauces veidiem.

Sēriju konverģence attiecas uz nesekvences daļas pārsvēršanu summā S_n = ∑_{k=1}^n a_k. Ja S_n tendē uz kādu limītu S, sērija konverģē; ja ne, tā diverģē. Tests, piemēram, salīdzināšanas tests, attiecības tests, sakņu tests un alternācijas tests (Leibniza tests) palīdz noteikt konverģenci. Sērija var converģēt absolūti (∑ |a_k| konverģē) vai tikai relatīvi (parasti bez absolūtas konverģences).

Konverģence ir pamatjēdziens daudzās jomās: analīzē, skaitliskajā metodē, funkcionālo telpu teorijā, kā arī probabilitātes un mācīšanās teorijās. Piemēri iekļauj ģeometrisku sēriju ar |r| < 1 un kostarētiskās sērijas vārdus.