Konvergenco

Konvergenco estas termino en matematiko kiu priskribas la proksimadon de sekvenco aŭ familio de funkcioj al sia limvalor. Por sekvenco (a_n) konverĝas al limo L se por ĉiu eps>0 ekzistas N tia ke n≥N ⇒ |a_n−L|<eps. Tio estas la difino de punkta konvergenco.

En la kunteksto de funkcioj, se f_n estas sinsekvo de funkcioj definitaj en domajno D, ni distingas punkta konvergenco: por ĉiu x en D, f_n(x) konverĝas al f(x). Uniforma konvergenco signifas ke sup_{x∈D} |f_n(x)−f(x)| → 0. Uniforma konvergenco estas pli forta kaj ofte permesas interŝanĝon de limigo kun integri aŭ derivigi sub certaj kondicioj.

Konvergenco de serioj: se S_N = sum_{k=0}^N a_k kaj S_N konverĝas al S, tiam la serio konverĝas al S. Ekzemploj: geometria serio sum_{k=0}^∞ r^k kun |r|<1 konverĝas al 1/(1−r). La serio sum_{n=1}^∞ 1/n diverĝas.

Konvergenco de algoritmoj: en cifra-praktiko pluraj iteraj metodoj por solvo de ekvacio konverĝas al solvo sub certaj kondicioj. Ekzemplo: se T estas kontrakta mapo sur kompleta spaco kaj x_{n+1}=T(x_n), tiam la sekvenco konverĝas al la unika fiksa punkto laŭ la Banacha fikspunkto-teoremo.

Ekzemploj: a_n = 1/n konverĝas al 0. Por la funkcioj f_n(x)=x^n sur [0,1], konverĝas punkte al f kie f(1)=1 kaj f(x)=0 por x<1; tamen tiu konvergenco ne estas uniforma.