Kontinuitetit

Kontinuitetit ovat keskeinen käsite matematiikassa. Ne kuvaavat, miten funktiot voivat muuttua ilman äkillisiä hyppyjä ja miten kuvaukset suhtautuvat ympäristön pieniin muutoksiin. Kontinuitetti voidaan määritellä usealla yhtenäisellä tavalla, riippuen siitä, millaisia tiloja ja rakenteita käsitellään.

Yleisessä topologisessa muodossa kontinuitetti määritellään siten, että määrittelyavaruus X ja kohdeyksikkö Y ovat topologisia tiloja. Funktio f: X → Y on continuous, jos f^{-1}(V) on avointi X:ssä jokaiselle avoimelle V:lle Y:ssä. Tämä lausuma on vastine preimallin eliunavaille avoimuutta koskeville ominaisuuksille. Metristen tilojen yhteydessä kontinuitetti voidaan määritellä epsilon-delta -kielellä: jokaiselle x₀ ja jokaiselle ε>0 löytyy δ>0, niin että d_X(x, x₀) < δ johtaa d_Y(f(x), f(x₀)) < ε.

Kontinuitetti voidaan myös määritellä sekulaarisesti: f on jatkuva pisteessä x₀, jos raja f(x) lähestyy f(x₀) sovellettuna kun x lähestyy x₀. Samoja piirteitä voidaan soveltaa koko tila X:ään. Yleensä kontinuitetti säilyttää ominaisuuksia, kuten radojen ja verkkojen osien yhteydet sekä rajojen olemassaolon.

Tärkeimmät variantit ovat uniformi kontinuitetti (mynstyy kun kaikki pisteet huomioidaan samanaikaisesti) sekä se, miten kontinuitetti käyttäytyy kompleksisissa ja tiloissa. Kontinuitetit ovat keskeisiä monissa teoreemoissa ja sovelluksissa, kuten differentiaalilaskennassa, topologiassa ja funktioteoriassa.