Konformaalne

Konformaalne ehk konformaalne teisendus on matemaatiline mõiste, mis kirjeldab nurkade säilimist kaardistumises. Üldiselt tähistab konformaalne teisendus avatud domeenil U ⊂ C funktsiooni f: U → C, mis säilitab igas punktis nurkade suuruse ja suuna. Mõistet kasutatakse peamiselt kompleksanalüüsis ja konformilises geomeetrias.

Põhiväide on: f on konformaalne teisendus, kui see on holomorfne (kompleksnekseanalüüsis määratud analüütiline) ja f′(z) ≠ 0 iga z ∈ U. Sellisel juhul f'i differential esindab kohaliku sarnasuse, mis koosneb pöörlemisest ja suurendusest; seetõttu säilitatakse iga koha läheduses ruumi nurgad muutumatuna.

One-dimensional nägemus aitab mõista ka seda, et holomorfne funktsioon, mille derivaat on kogu domeenil mitte null, on igas punktis konformaal. Näited: exp(z) on konformaalne kõigil z; Möbiuse teisendused f(z) = (az + b)/(cz + d), kus ad − bc ≠ 0, on konformaalid kogu kompaktsete loomine.

Kõrgematel mõõtmetel püsib ideed samu. Rea-ruumis R^n (n ≥ 3) on konformaalne kaardistumine nurkades sarnane, kuid täielikum klass konformaalseid muutusi on piiratud; Liouville'i teoreem näitab, et piisavalt siledatel konformaalsetel kaardistustel on sageli kujundatud Möbiuse transformatsioonide kombinatsioonid.

Rakendused hõlmavad konforme mahu ja pinna arvutamist, keeruliste geomeetriliste kujundite teoreetilist analüüsi, karteograafiat ning füüsikas ja statistikast levinud konformaalset teooriat, kus nurka ja skaleerimist säilitavad muutused on olulised. Konformaalne geomeetria on seega keskne tööriist nurkade hoidmiseks erinevates kaardistustes.