Kokonaisdifferentiaali

Kokonaisdifferentiaali on kaikkien muuttujien pienten muutosten lineaarinen vaikutus funktion arvoon. Oletetaan, että f: R^n → R on pisteessä a = (a1, ..., an) ja että f on tässä pisteessä differoituva. Tällöin kokonaisdifferentiaali df_a on lineaarinen kartta, joka kuvaa muutoksen f arvoon kun muuttujia xi muutetaan hiukan: df_a(h) = ∑_{i=1}^n (∂f/∂x_i)(a) h_i, missä h = (h_1, ..., h_n) on pienet muutokset xi:hin. Toisaalta voidaan kirjoittaa df_a = ∑_{i=1}^n (∂f/∂x_i)(a) dx_i, jolloin kokonaisdiffiaali on summan muotoinen differentialmuoto.

Kahden muuttujan tapauksessa, jos f = f(x, y), kokonaisdifferentiaali on df = f_x dx + f_y dy, jossa f_x ja f_y ovat osittaisderivaatioita pisteessä (x, y). Kokonaisdifferentiaali on f:n lineaarinen lähilämpö (parannettu lineaarinen arvio f(a + h) ≈ f(a) + df_a(h) lähipisteessä), eli f(a + h) = f(a) + df_a(h) + o(||h||) kun h → 0.

Esimerkki: f(x, y) = x^2 y + sin y. Tällöin ∂f/∂x = 2xy ja ∂f/∂y = x^2 + cos y, joten df = 2xy dx + (x^2 + cos y) dy.

Kokonaisdifferentiaali liittyy gradienttiin via df_a(h) = ∇f(a) · h, ja se on keskeinen käsite monissa sovelluksissa kuten optimoinnissa ja analyysissä, kun halutaan arvioida pienten muutosten vaikutusta f:n arvoon. Vaadittava ehto on, että f on differoituva kyseisessä pisteessä.