Kleinwinkelnäherungen

Kleinwinkelnäherungen bezeichnen einfache Beziehungen trigonometrischer Funktionen für sehr kleine Winkel. Sie beruhen auf der Annahme, dass der Winkel in Bogenmaß gemessen wird und dass sin x, tan x und cos x durch einfache Ausdrücke angenähert werden können, wenn x nahe 0 liegt. Die bekanntesten Beziehungen sind sin x ≈ x, tan x ≈ x und cos x ≈ 1 − x^2/2. Höhere Genauigkeit erhält man durch die Taylor-Reihe: sin x = x − x^3/6 + x^5/120 − …, cos x = 1 − x^2/2 + x^4/24 − …, tan x = x + x^3/3 + 2x^5/15 + …. Die Annäherung gilt besonders für kleine x, d. h. in der Nähe von 0.

Die Näherungen ermöglichen das Linearisieren oder Vereinfachen von Gleichungen in Physik und Technik. Typische Anwendungen finden sich in der Mechanik (einfaches Pendel bei kleinen Amplituden), in der Optik und Wellenlehre (paraxiale Approximation, lineare Refraktions- und Beugungsgrafiken) sowie in der Astronomie und Elektronik, wo komplexe Beziehungen durch einfache Ausdrücke ersetzt werden.

Der Fehler lässt sich grob durch die Taylor-Restglieder abschätzen: Für sin x ist der Rest R3 ≈ −x^3/6, für cos x R4 ≈ x^4/24. Demnach gilt |sin x − x| ≤ |x|^3/6 und |cos x − (1 − x^2/2)| ≤ |x|^4/24; für tan x ist der Rest komplexer, aber die erste Ordnung bleibt bis zu moderaten Winkeln gültig. Wichtig ist, dass x in Bogenmaß gemessen wird.