Kiertotoiminto

Kiertotoiminto, tai rotaatio, on geometriassa ja sen sovelluksissa käytetty operaatio, jossa kohde kiertyy tietyn kulman θ ympäri kiertopisteen tai kiertokohdan ympärillä. Kiertotoiminto on isometrian luokkaa, mikä tarkoittaa, että etäisyydet ja kulmat säilyvät. Se voidaan toteuttaa eri ulottuvuuksissa ja eri representations, kuten-lineaarisena matriisina tai kolmiulotteisessa tilassa aksiaalisena kiertona.

2D-tilassa kiertotoiminto kiertää pistejoukon noin origon. Annetaan kulma θ, jolloin x' = R(θ) x, missä R(θ) on matriisi

[[cosθ, -sinθ],

[sinθ, cosθ]].

Tämä transformaatio säilyttää pituudet ja kulmat, ja sen kääntö on kierto −θ. Kiertotoiminto voidaan tulkita sekä aktiivisesti pisteen sijainnin muuttamisena että passiivisesti koordinaatiston kiertämisenä.

3D-tilassa kierta voidaan suorittaa akselin u ympäri kulmalla θ. Yleisesti kiertomatriisi voidaan kirjoittaa Rodriguesin kaavan avulla tai käyttäen aksiaaliakselisysteemin esityksiä. Kolmiulotteisessa tilassa kiertomatriisit muodostavat ryhmän SO(3), ja useimmat käytännön sovellukset käyttävät myös kvaternioita kiertojen ilmaisemiseen, niiden yhdistämiseen ja virheiden vähentämiseen.

Ominaisuudet ja esitystavat: kiertotoiminto on kerta- ja ryhmäoperaatio, jonka tulokset ovat aina ortogonaalisia matriiseja, joiden determinantti on +1. Yhden kierron käännös on käänteinen kierto, eli kierto −θ. Rotaatioiden yhdisteet eivät yleensä kompisiti, erityisesti kolmiulotteisessa tilassa.

Käyttökohteita ovat tietokonegrafiikka, robotiikka, fysiikka, kartografia ja arkkitehtuuri yleisesti. Esimerkkejä ovat kuvan kierto 90 astetta tai kameran kierto kolmiulotteisessa tilassa.