Kertymäfunktion

Kertymäfunktio eli kertymäjakauman kertymäfunktio F_X kuvaa satunnaismuuttujan X jakauman kertymän. Se määritellään kaikille x reaalisesti seuraavasti: F_X(x) = P(X ≤ x).

Ominaisuudet: F_X on ei-vähenevä ja oikeasti jatkuva (right-continuous) funktio. Lisäksi rajoja määrittävät: lim_{x→-∞} F_X(x) = 0 ja lim_{x→∞} F_X(x) = 1. Kertymäfunktio yksiselitteisesti määrittää jakauman, ja kahdella satunnaismuuttujalla X ja Y on sama jakauma silloin, kun heidän F_X = F_Y.

Toiminnot määräytyvät kertymäfunktion kautta: P(a < X ≤ b) = F_X(b) − F_X(a). Eri jakaumat antavat erilaisia kertymäfunktioita, mikä mahdollistaa todennäköisyyksien laskemisen pelkän F_X:n tuntemisen perusteella.

Disretisissa ja jatkuvissa jakaumissa kertymäfunktio käyttäytyy eri tavoin. Diskreetissä jakaumassa F_X on askellainen ja lohkeamat x0 vastaavat P(X = x0). Jatkuvissa jakaumissa F_X on jatkuva ja tiheysfunktio f_X ilmenee F_X:n derivaattina missä tiheyslukuja sallitulla alueella F_X'(x) = f_X(x).

Käyttö: Kertymäfunktiota käytetään todennäköisyyksien laskemiseen, tilastolliseen päättelyyn ja simulaatioihin (esim. käänteisvaihtomenetelmällä eli inverse transform sampling). Kvantileille määritellään F^{-1}(p) = inf{x : F_X(x) ≥ p}.

Esimerkkejä: X ~ Uniform(0,1) antaa F_X(x) = 0, kun x < 0; F_X(x) = x, kun 0 ≤ x ≤ 1; F_X(x) = 1, kun x ≥ 1. Mediaattori: X ~ N(0,1) antaa F_X:n tavanomaisen normaalin kertymäfunktion. Diskretiinään jakautuneiden arvojen kertymä on puolestaan porrastettu.